यदि A =left[begin{array}{cc}cos α & sin α -sin α & cos αend{array}right] हो ?

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3 and 4 .Determinants and Matrices

medium

यदि $A =\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$ हो तो सत्यापित कीजिए कि $A ^{\prime} A = I$

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

$A=\left[\begin{array}{ll}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$

$\therefore A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$

$A^{\prime} A=\left[\begin{array}{ll}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}(\cos \alpha)(\cos \alpha)+(-\sin \alpha)(-\sin \alpha) & (\cos \alpha)(\sin \alpha)+(-\sin \alpha)(\cos \alpha) \\ (\sin \alpha)(\cos \alpha)+(\cos \alpha)(-\sin \alpha) & (\sin \alpha)(\sin \alpha)+(\cos \alpha)(\cos \alpha)\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha & \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \cos \alpha & \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=I$

Hence, we have verified that $A ^{\prime}A=1$

Standard 12

Mathematics

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यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2}\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\mathrm{ABA}^{\top}$ तथा $\mathrm{X}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{C}^2 \mathrm{~A}$ हैं, तो $\operatorname{det} \mathrm{X}$ बराबर है :

hard

(JEE MAIN-2024)

माना की $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$,

$P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ और $X=\sum_{k=1}^6 P_k\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$

जहाँ आव्यूह (matrix) $P _{ K }$ के परिवर्त (transpose) को $P _{ K }^{ T }$ से दर्शाया गया है। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सहीं है (हैं)?

जहाँ आव्यूह (matrix) $P _{ K }$ के परिवर्त (transpose) को $P _{ E }^{ T }$ से दर्शाया गया है। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सहीं है

(हैं)?

$(1)$ $X -30 I$ एक व्युत्क्रमणीय (invertible) आव्यूह है।

$(2)$ $X$ के विकर्ण (diagonal) की प्रविष्टियों (entries) का योग $18$ है

$(3)$यदि $X \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$, तब $\alpha=30$

$(4)$ $X$ एक समित (symmetric) अव्युह हैं

normal

(IIT-2019)

यदि $A =\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ तथा $B =\left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right]$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि

$(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$

easy

यदि $ A $ एक विषम कोटि का विषम-सममित आव्यूह है, तो $|A|$=

normal

यदि $A =\left[\begin{array}{lll}3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0\end{array}\right]$ तथा $B =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]$ तो निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए :

$(k B )^{\prime}=k B ^{\prime},$ जहाँ $k$ कोई अचर है।

medium